# 9. Coonsovy kubiky

S. A. Coons definoval metodu, která má své silné použití díky dobrým geometrickým vlastnostem hlavně v navrhování ploch. Její princip je však vhodné vyložit na modelování křivek.

Coonsova kubika se zadává stejně jako kubika Bézierova čtyřmi řídicími body P0, Pl, P2, a P3. Coonsova kubika se spočítá ze vztahu :

( 9.1 )

kde C0, C1, C2, C3 jsou kubické polynomy tvaru:

C

0(t) = (1 - t)3,
C1(t) = 3t3 - 6t2 + 4,
C2(t) = -3t3 + 3t2 + 3t + 1,
C3(t) = t3

( 9.2 )

t Î < 0,1 >.

Maticově zapsáno:

( 9.3 )

Obr. 9.1 Kubické polynomy Coonsovy kubiky

Ze vztahů ( 9.1 ) a ( 9.2 ) plyne, že po dosazení t = 0 je:

( 9.4 )

pro t =1 je:

( 9.5 )

krajní body křivky tedy nevychází z řídicích bodů, ale z antitěžiště trojúhelníků P0PlP2 a P1P2P3 (Obr. 9.2).

Obr. 9.2 Coonsova kubika | Applet 9.2. Coonsova kubika

Návod na používání appletů

Derivací vztahu ( 9.1 ) dostaneme

( 9.6 )

Pro t = 0 je C'0(0) = -3, C'1(0) = 0, C'2(0) = 3, C'3(0) = 0. Odtud plyne, že

( 9.7 )

- tečna v P(0) je rovnoběžná se stranou P0P2 a její velikost je rovna polovině strany P0P2
- je-1i bod P1 středem úsečky P0P2, vychází aproximační křivka z bodu P1. Analogicky pro body P1, P2 a P3
- je-li P0 = P1, říkáme, že se jedná o dvojnásobný bod a aproximační křivka vychází z bodu

- je-li P0 = P1 = P2, říkáme, že se jedná o trojnásobný bod a aproximační křivka vychází z něho

Největší výhoda Coonsových kubik se stane zřejmou teprve v okamžiku, kdy je použijeme pro skládání aproximačních křivek. Uvažujme řídicí polygon složený z bodů P0, P1, ..., Pn. Budeme-li výslednou křivku skládat z Coonsových oblouků vždy tak, že pro jeden oblouk použijeme vrcholy P0P1P2P3, pro další P1P2P3P4 atd., získáme křivku, která se nazývá B-splajn.

Vlastností B-splajnu je, že má ve všech vnitřních bodech spojitost druhého řádu. Z hlediska konstrukce je pro tímto způsobem vytvářenou křivku výhodné i to, že změnou jednoho bodu dojde pouze k lokální změně čtyř oblouků, jejichž konstrukce se bod účastní.

Obr. 9.2 Coonsův kubický B-splajn

Applet. 9.2 Coonsův kubický B-splajn

Návod na používání appletů

Applet pro experimenty:

Návod na používání appletů

Racionální Bézierovy křivky |  | Splajn křivky