# 4. Catmull-Rom splajny

E.Cattmull a R.Rom v jednom ze svých článků [CATM74] ukázali, že v matematickém vyjádření B-splajn křivky mohou nahradit kontrolní body parametrickou funkcí t, a tato partikulární funkce má stejné interpolační vlastnosti jako řídící body. Tato třída B-splajn křivek se nazývá Catmull-Rom splajny a patří mezi interpolační křivky, které jsou díky svým vlastnostem používány pro definování dráhy objektů v počítačové animaci.

Křivka je definována posloupností bodů P0, P1, . . . , Pn. Vychází z bodu P1 a končí v bodě Pn-1, tedy neinterpoluje první a poslední bod.

Křivka se vypočítá dle vztahu :

( 4.1 )

Výpočet probíhá postupně a to nejprve pomocí bodů P0, P1, P2, P3, poté body P1, P2, P3, P4 atd.

Mezi vlastnosti Catmull-Rom splajnů patří to, že jsou navrženy tak, že tečný vektor v bodě Pi je rovnoběžný s vektorem Pi-1-Pi+1. Tato vlastnost určuje "přirozený" tvar křivky.

Při dvojnásobném výskytu prvního a posledního bodu tj. např. P0, P0, P1, P2, ... , Pn-1, Pn, Pn je zaručeno, že křivka bude interpolovat všemi body.

Nevýhodou těchto křivek je, že výsledný splajn obecně neleží v konvexní obálce svých řídicích bodů (Obr. 4.1).

Obr. 4.1 Catmull-Rom splajn s vyznačenými tečnami v řídicích bodech

Applet. 4.1 Catmull-Rom splajn

Applet pro experimenty :

Fergusonovy kubiky |  | Bézierovy kubiky