ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI
Fakulta aplikovaných věd 
Katedra informatiky a výpočetní techniky
-------------------------------------------------------------------------------------------

         Autor: Antonín Neumann
Studijní číslo: A14N0139P
Datum narození: 7. 9. 1989; {k = (3*7 + 3*3) mod 10 = (21 + 9) mod 10 = 30 mod 10 = 0}
        E-mail: neumann@students.zcu.cz
Akademický rok: 2015/2016 

-------------------------------------------------------------------------------------------

  
                                           KIV/VSP
                      Markovské náhodné procesy a systémy hromadné obsluhy
                                      (Okruh 2, úkol 0)


# Zadání

Do bufferu s neomezenou kapacitou přicházejí zprávy, doba mezi příchodem zpráv je náhodná a má exponenciální rozdělení s parametrem ? = 9. Zprávy jsou z bufferu vybírány (pokud tam nějaké jsou) opět náhodně, doba mezi po sobě jdoucími výběry zpráv je též náhodná a má exponenciální rozdělení s parametrem µ = 10. 

S využitím markovského modelu určete:
 * střední počet zpráv, které se v bufferu nachází,
 * kolik procent času při dlouhodobém sledování bude buffer prázdný,
 * jak často (průměrná perioda) se buffer úplně vyprázdní.

Poznámka: Pro numerický výpočet pomocí nástroje MARKOV počet stavů modelu nějak (rozumně) omezte.



# Graf přechodů

Graf přechodů je uveden v příloze 1.




# Soustava rovnic pro určení limitních pravděpodobností stavů modelu

Soustava rovnic je uvedena v příloze 2.




# Popis modelu bufferu v programu Markov2

Vzhledem k nekonečné velikosti bufferu, byla pro program Markov 2 jeho velikost omezena na 1200 požadavků, řešení takto omezeného modelu se ukázalo jako bezproblémové.

## Zdrojový kód
  module buffer [1200];
  #define size 1200
  #define lambda 9.0
  #define mu 10.0 

for (i ;0; size-2){
    [i]->lambda [i+1];
}

for (i; 0; size-2){
    [i+1]->mu [i];
}




# Zjištění požadovaných veličin

Všechny požadované veličiny byly zjištěny pomocí programu Markov 2. Vykonání dotazu vždy předchází načtení modulu a definování velikosti fronty:

   load "buffer" as buf
   define size := 1200;
   ///--- zde dosadit příslušný MMQL dotaz ---///


## Limitní pravděpodobnosti stavů

   select i as stav, p[i] as ppst
   from buf for i := 0 to size-1 order stav

Výsledek: (výpis byl omezen na 15, dotaz vrátí všech 1200 pravděpodobností)
 stav   ppst 
  0     0.1 
  1     0.09 
  2     0.081 
  3     0.0729 
  4     0.06561 
  5     0.059049 
  6     0.0531441 
  7     0.0478297 
  8     0.0430467 
  9     0.038742 
  10    0.0348678 
  11    0.0313811 
  12    0.028243 
  13    0.0254187 
  14    0.0228768 


## Střední počet zpráv, které se v bufferu nachází

   select sum(i*p[i]) as Lw from buf for i := 0 to size-1 group 1;

Výsledek --> 9


## Kolik procent času při dlouhodobém sledování bude buffer prázdný

   select p[0]*100 as result from buf

Výsledek --> 10


## Jak často (průměrná perioda) se buffer úplně vyprázdní
             .
   define mi := 10;
   select 1/(mi*p[1]) as result from buf

Výsledek ---> 1,11111

Pokud parametrům lamba a mi přiřadíme fyzikální jednotku 1/s potom můžeme konstatovat, že se buffer v průměru vyprázní každých 1,11111 vteřiny.